В математике число ноль занимает особое место. Дело в том, что оно, по сути дела, означает «ничто», «пустоту», однако его значение действительно трудно переоценить. Для этого достаточно вспомнить хотя бы то, что именно с нулевой отметк и начинается отсчет координат положения точки в любой системе координат.

Ноль широко используется в десятичных дробях для определения значений «пустых» разрядов, находящихся как до, так и после запятой. Кроме того, именно с ним связано одно из основополагающих правил арифметики, гласящее о том, что на ноль делить нельзя. Его логика, собственно говоря, проистекает из самой сути этого числа: действительно, невозможно представить, чтобы некая отличное от него значение (да и само оно – тоже) было разделено на «ничто».

Примеры вычисления

С нулем осуществляются все арифметические действия, причем в качестве его «партнеров» по ним могут использоваться целые числа, обычные и десятичные дроби, причем все они могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Приведем примеры их осуществления и некоторые пояснения к ним.

Сложение

При прибавлении нуля к некоторому числу (как целому, так и к дробному, как к положительному, так и к отрицательному) его значение остается абсолютно неизменным.

Пример 1

Двадцать четыре плюс ноль равняется двадцать четыре.

Пример 2

Семнадцать целых три восьмых плюс ноль равняется семнадцать целых три восьмых.

Умножение

При умножении любого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) на ноль получается ноль .

Пример 1

Пятьсот восемьдесят шесть умножить на ноль равняется ноль .

Пример 2

Ноль умножить на сто тридцать пять целых шесть седьмых равняется ноль .

Пример 3

Ноль умножить на ноль равняется ноль .

Деление

Правила деления чисел друг на друга в тех случаях, когда одно из них представляет собой ноль, различаются в зависимости от того, в какой именно роли выступает сам ноль: делимого или делителя?

В тех случаях, когда ноль представляет собой делимое, результат всегда равен ему же, причем вне зависимости от значения делителя.

Пример 1

Ноль разделить на двести шестьдесят пять равняется ноль .

Пример 2

Ноль разделить на семнадцать пятьсот девяносто шестых равняется ноль .

0:

= 0

Делить ноль на ноль согласно правилам математики нельзя. Это означает, что при совершении такой процедуры частное является неопределенным. Таким образом, теоретически оно может представлять собой абсолютно любое число.

0: 0 = 8 ибо 8 × 0 = 0

В математике такая задача, как деление нуля на ноль , не имеет никакого смысла, поскольку ее результат представляет собой бесконечное множество. Это утверждение, однако, справедливо в том случае, если не указаны никакие дополнительные данные, которые могут повлиять на итоговый результат.

Таковые, при их наличии, должны состоять в том, чтобы указывать на степень изменения величины как делимого, так и делителя, причем еще до наступления того момента, когда они превратились в ноль . Если это определено, то такому выражению, как ноль разделить на ноль , в подавляющем большинстве случаев можно придать некий смысл.

Строгий запрет на деление на ноль налагается ещё в младших классах школы. Дети обычно и не задумываются о его причинах, но на самом деле знать, почему что-нибудь запрещается, и интересно, и полезно.

Арифметические действия

Арифметические действия, которые изучаются в школе, неравноценны с точки зрения математиков. Они признают полноправными только две из этих операций - сложение и умножение. Они входят в само понятие числа, и все остальные действия с числами так или иначе строятся на этих двух. То есть невозможно не только деление на ноль, но и деление вообще.

Вычитание и деление

Чего же не хватает остальным действиям? Опять же, из школы известно, что, например, вычесть из семи четыре - значит, взять семь конфет, четыре из них съесть и посчитать те, что останутся. Но математики поеданием конфет и вообще воспринимают их совершенно иначе. Для них есть только сложение, то есть запись 7 - 4 означает число, которое в сумме с числом 4 будет равно 7. То есть для математиков 7 - 4 - это краткая запись уравнения: х + 4 = 7. Это не вычитание, а задача - найти такое число, которое нужно поставить вместо х.

То же самое относится к делению и умножению. Деля десять на два, младшеклассник раскладывает десять конфет на две одинаковые кучки. Математик же и здесь видит уравнение: 2 · х = 10.

Так и выясняется, почему запрещено деление на ноль: оно просто невозможно. Запись 6: 0 должна превращаться в уравнение 0 · х = 6. То есть требуется найти число, которое можно умножить на ноль и получить 6. Но известно, что умножение на ноль всегда даёт ноль. Это сущностное свойство ноля.

Таким образом, нет такого числа, которое, умножаясь на ноль, давало бы какое-то число, отличное от ноля. Значит, у этого уравнения нет решения, нет такого числа, которое соотносилось бы с записью 6: 0, то есть она не имеет смысла. О её бессмысленности и говорят, когда запрещают деление на ноль.

Делится ли ноль на ноль?

А можно ли ноль разделить на ноль? Уравнение 0 · х = 0 не вызывает затруднений, и можно взять за х этот самый ноль и получить 0 · 0 = 0. Тогда 0: 0 = 0? Но, если, например, принять за х единицу, тоже получится 0 · 1 = 0. Можно принять за х вообще какое угодно число и делить на ноль, и результат останется прежним: 0: 0 = 9, 0: 0 = 51 и так далее.

Таким образом, в это уравнение можно вставить совершенно любое число, и невозможно выбрать какое-то конкретное, невозможно определить, какое число обозначается записью 0: 0. То есть и эта запись тоже не имеет смысла, и деление на ноль всё равно невозможно: он не делится даже сам на себя.

Такова важная особенность операции деления, то есть умножения и связанного с ним числа ноль.

Остаётся вопрос: но вычитать его можно? Можно сказать, что настоящая математика начинается с этого интересного вопроса. Чтобы найти ответ на него, необходимо узнать формальные математические определения числовых множеств и познакомиться с операциями над ними. Например, существуют не только простые, но и делениекоторых отличается от деления обычных. Это не входит в школьную программу, но университетские лекции по математике начинаются именно с этого.

А вот еще интересное утверждение. «Делить на ноль нельзя!» - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?». Вот что будет, если

А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0: 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0: 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними.

Деление на ноль в математике - деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано ⁄ 0 , где - это делимое.

В обычной арифметике (с вещественными числами) данное выражение не имеет смысла, так как:

• при ≠ 0 не существует числа, которое при умножении на 0 даёт, поэтому ни одно число не может быть принято за частное ⁄ 0 ;
• при = 0 деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на 0 даёт 0 и может быть принято за частное 0 ⁄ 0 .

Исторически одна из первых ссылок на математическую невозможность присвоения значения ⁄ 0 содержится в критике Джорджа Берклиисчисления бесконечно малых.

Логические ошибки

Поскольку при умножении любого числа на ноль в результате мы всегда получаем ноль, при делении обеих частей выражения × 0 = × 0, верного вне зависимости от значения и, на 0 получаем неверное в случае произвольно заданных переменных выражение = . Поскольку ноль может быть задан не явно, но в виде достаточно сложного математического выражения, к примеру в форме разности двух значений, сводимых друг к другу путём алгебраических преобразований, такое деление может быть достаточно неочевидной ошибкой. Незаметное внесение такого деления в процесс доказательства с целью показать идентичность заведомо разных величин, тем самым доказывая любое абсурдное утверждение, является одной из разновидностей математического софизма .

В информатике

В программировании, в зависимости от языка программирования, типа данных и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в целой и вещественной арифметике:

• Попытка целочисленного деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
• В вещественной арифметике последствия могут быть различным в разных языках:

• генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
• получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида ⁄ 0 , где ≠ 0 - число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности - или, а при = 0 в результате получается специальное значению NaN (сокр. от англ. not a number - «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.

Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу .

См. также

Примечания

Функция = 1 ⁄ . Когда стремится к нулю справа, стремится к бесконеч­ности; когда стремится к нулю слева, стремится к минус бесконечности

Если на обычном калькуляторе поделить какое-либо число на ноль, то он вам выдаст букву Е или слово Error, то есть «ошибка».

Калькулятор компьютера в аналогичном случае пишет (в Windows XP) : «Деление на нуль запрещено».

Всё согласуется с известным со школы правилом, что на ноль делить нельзя.

Разберёмся, почему.

Деление — это математическая операция, обратная умножению. Деление определяется через умножение.

Поделить число a (делимое, например 8) на число b (делитель, например число 2) — значит найти такое число x (частное), при умножении которого на делитель b получается делимое a (4 · 2 = 8), то есть a разделить на b значит решить уравнение x · b = a.

Уравнение a: b = x равносильно уравнению x · b = a.

Мы заменяем деление умножением: вместо 8: 2 = x пишем x · 2 = 8.

8: 2 = 4 равносильно 4 · 2 = 8

18: 3 = 6 равносильно 6 · 3 = 18

20: 2 = 10 равносильно 10 · 2 = 20

Результат деления всегда можно проверить умножением. Результатом умножения делителя на частное должно быть делимое.

Аналогично попробуем поделить на ноль.

Например, 6: 0 = … Нужно найти такое число, которое при умножении на 0 даст 6. Но мы знаем, что при умножении на ноль всегда получается ноль. Не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы что-то другое кроме нуля.

Когда говорят, что на ноль делить нельзя или запрещено, то имеется в виду, что не существует числа, соответствующего результату такого деления (делить-то на ноль можно, разделить — нельзя:)).

Зачем в школе говорят, что на ноль делить нельзя?

Поэтому в определении операции деления a на b сразу подчёркивается, что b ≠ 0.

Если всё выше написанное вам показалось слишком сложным, то совсем на пальцах: Разделить 8 на 2 означает узнать, сколько нужно взять двоек, чтобы получилось 8 (ответ: 4). Поделить 18 на 3 означает узнать, сколько нужно взять троек, чтобы получить 18 (ответ: 6).

Поделить 6 на ноль означает узнать, сколько нужно взять нулей, чтобы получить 6. Сколько ни бери нулей, всё равно получится ноль, но никогда не получится 6, т. е. деление на ноль не определено.

Интересный результат получается, если попробовать поделить число на ноль на калькуляторе андроида. На экране отобразится ∞ (бесконечность) (или — ∞, если делите отрицательное число). Данный результат является неверным, т. к. не существует числа ∞. По-видимому, программисты спутали совершенно разные операции — деление чисел и нахождение предела числовой последовательности n/x, где x → 0. При делении же нуля на нуль будет написано NaN (Not a Number — Не число).

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 - 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 - 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 - 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания.

Деление на ноль

Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 — это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль?

В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Функция «деление» не определена для области значений, в которой делитель равен нулю. Делить можно, но результат — не определён

Дельть на ноль нельзя. Математика 2 класса средней школы.

Если мне не изменяет память, то ноль можно представить как бесконечно малую величину, так что бесконечность будет. А школьное «ноль — ничего» — это просто упрощение, их таких в школьной математике ууууууу сколько) . Но без них никак, все в свое время.

Войдите, чтобы написать ответ

Деление на ноль

Частное от деления на ноль какого-либо числа, отличного от нуля, не существует.

Рассуждения здесь следующие: так как в этом случае никакое число не может удовлетворить определению частного.

Напишем, например,

какое бы число ни взять на пробу (скажем, 2, 3, 7), оно не годится потому что:

\[ 2 · 0 = 0 \]

\[ 3 · 0 = 0 \]

\[ 7 · 0 = 0 \]

Что будет если поделить на 0?

д., а нужно получить в произведении 2,3,7.

Можно сказать, что задача о делении на нуль числа, отличного от нуля, не имеет решения. Однако число, отличное от нуля, можно разделить, на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Так, если будем делить 7 на

\[ \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, \frac{1}{10000} \]

то получим частные 70, 700, 7000, 70 000 и т. д., которые неограниченно возрастают.

Поэтому часто говорят, что частное от деления 7 на 0 «бесконечно велико», или «равно бесконечности», и пишут

\[ 7: 0 = \infin \]

Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным 7 (или приближается к 7), то частное неограниченно увеличивается.

В курсе школьной арифметики все математические операции проводятся с вещественными числами. Множество этих чисел (или непрерывное упорядоченное поле) имеет ряд свойств (аксиом): коммутативность и ассоциативность умножения и сложения, существование нуля, единицы, противоположного и обратного элементов. Также аксиомы порядка и непрерывности, применяемые для сравнительного анализа, позволяют определить все свойства вещественных чисел.

Поскольку деление является операцией, обратной умножению, при делении на ноль вещественных чисел неизбежно возникновение двух неразрешимых проблем. Во-первых, проверка результата деления на ноль при помощи умножения не имеет числового выражения. Каким бы числом не было частное, если его умножить на ноль, делимое получить невозможно. Во-вторых, в примере 0:0 ответом может служить абсолютно любое число, которое при перемножении с делителем всегда обращается в ноль.

Деление на ноль в высшей математике

Перечисленные трудности деления на ноль привели к наложению табу на эту операцию, по крайней мере, в рамках школьного курса. Однако в высшей математике находят возможности обойти этот запрет.

Например, за счет построения другой алгебраической структуры, отличной от знакомой всем числовой прямой. Примером такой структуры является колесо. Здесь существуют свои законы и правила. В частности, деление не привязано к умножению и превращается из бинарной операции (с двумя аргументами) в унарную (с одним аргументом), обозначается символом /х.

Расширение поля вещественных чисел происходит за счет введения гиперреальных чисел, которое охватывает бесконечно большие и бесконечно малые величины. Такой подход позволяет рассматривать термин «бесконечность» как некое число. Причем это число при расширении числовой прямой теряет свой знак, превращаясь в идеализированную точку, соединяющую два конца этой прямой. Такой подход можно сравнить с линией смены дат, когда при переходе между двумя часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 можно оказаться в следующем дне или же в предыдущем. При этом становится верным утверждение х/0=∞ для любых х≠0.

Чтобы устранить неопределенность 0/0, для колеса вводится новый элемент ⏊=0/0. При этом в данной алгебраической структуре есть свои нюансы: 0·х≠0; х-х≠0 в общем случае. Также х·/х≠1, поскольку деление и умножение больше не считаются обратными операциями. Но данные особенности колеса хорошо объясняются с помощью тождеств дистрибутивного закона, действующего в такой алгебраической структуре несколько иначе. Более подробные разъяснения можно найти в специализированной литературе.

Алгебра, к которой все привыкли, является, по сути, частным случаем более сложных систем, например, того же колеса. Как видим, делить на ноль в высшей математике можно. Для этого требуется выйти за границы привычных представлений о числах, алгебраических операциях и законах, которым они подчиняются. Хотя это вполне естественный процесс, сопровождающий любой поиск новых знаний.